Здравствуйте, в этой статье мы постараемся ответить на вопрос: «Округление десятичных дробей: правила, примеры». Если у Вас нет времени на чтение или статья не полностью решает Вашу проблему, можете получить онлайн консультацию квалифицированного юриста в форме ниже.
Округление помогает в самых разных случаях. Например, когда нужно прикинуть результат умножения больших чисел. Допустим, вы хотите представить, сколько будет 738 × 46. По правилам округления, это приблизительно равно 700 × 50. Получается: 738 × 46 ≈ 700 × 50 ≈ 35 000. А точный результат умножения равен 33 948.
Зачем нужно округление
Округлять числа необходимо для точности измерений. В некоторых сферах жизни погрешности в расчетах могут иметь очень серьезные последствия. Для этого существует метрология — наука, изучающая правила округления чисел и погрешности.
Приведем несколько примеров, в которых неправильное округление не приведет ни к чему страшному:
- Средняя зарплата в нашей стране. Очень интересный показатель, который постоянно меняется. Например, по данным за 2015 год, средняя зарплата составила 32560 рублей. Если выражать в тысячах, получится число 32,56. Согласно математическим правилам его можно округлить до 33. После чего вынести официальную версию, что средняя зарплата равна 33 тысячам рублей.
- Стоимость покупки. В каждом супермаркете можно увидеть товар со стоимостью, например, 48 рублей и 60 копеек. Если вы хотите совершить много покупок, логично будет прибавить к общей сумме 49 или даже 50 рублей. Это избавит вас от неловких ситуаций, когда вам не хватает совсем немного для оплаты покупки. А также сохранит вам лишнюю мелочь, которая может пригодиться потом.
- Показания весов, как правило, ошибаются на 0,5—1 процент. Соответственно, если вы встали на весы, и они показали 50 килограммов, значит, вы можете весить на 500 граммов больше или меньше, чем увидели на шкале прибора. Согласитесь, ничего страшного в этом нет. Главное, что вы узнали свой примерный вес. Важно понять, что в мире все приблизительно, и везде есть погрешности.
- Средний балл — самая распространённая ситуация. Например, для поступления в университет на бюджетное место необходим средний балл аттестата выше, чем 4,5. Абитуриента не примут, если его средний балл равен 4,48. По математическим правилам 4,48 можно округлить до четырёх с половиной. Однако в жизни такие правила не всегда работают.
Однако есть ситуации, где правильное округление является необходимостью. Наверняка читатель мог подумать, зачем нужна какая-то наука об округлении? Ведь все просто — округлять можно как в большую, так и в меньшую сторону, в зависимости от личной выгоды. Такой принцип применим не ко всем сферам жизни. Науку об округлении в первую очередь необходимо изучать инженерам-электроникам.
Люди, которые учились в технических институтах, знают, что при разработке определенных приборов необходимо провести много различных расчетов. Чаще всего промежуточными результатами этих расчетов являются нецелые числа. Чтобы они не повлияли на конечный результат, их нужно округлять только по определённым правилам либо вообще этого не делать, а работать с конечным результатом.
Суть в том, что погрешность может быть довольно велика (около 5 процентов), и это может плохо кончиться. Например, посчитанное значение напряжения тока в электрической цепи может быть неподходящим, и техническое устройство работать не будет. Или того хуже, инженера может ударить током.
Округление десятичных дробей
Дробь — это запись числа в математика, в которой a и b — числа или выражения. По сути, это всего лишь одна из форм, в которой можно представить число. Есть два формата записи:
- обыкновенный вид — 1/2 или a/b,
- десятичный вид — 0,5.
В десятичной дроби знаменатель всегда равен 10, 100, 1000, 10000 и т.д. Выходит, что десятичная дробь — это то, что получается, если разделить числитель на знаменатель. Такую дробь записывают в строчку через запятую, чтобы отделить целую часть от дробной. Вот так:
- 0,7
- 6,35
- 9,891
При округлении десятичных дробей следует быть особенно внимательным, потому что десятичная дробь состоит из целой и дробной части. И у каждой из этих частей есть свои разряды:
Разряды целой части:
- разряд единиц;
- разряд десятков;
- разряд сотен;
- разряд тысяч.
Разряды дробной части:
- разряд десятых;
- разряд сотых;
- разряд тысячных.
Разряд — это позиция, место расположения цифры в записи натурального числа. У каждого разряда есть свое название. Слева всегда располагаются старшие разряды, а справа — младшие.
Приближённые значения
Приближённые (или приблизительные) значения применяются тогда, когда точное значение чего-то найти невозможно, или же не важно чтобы это значение было точным для исследуемого предмета.
Например, на словах можно сказать, что в городе проживает полмиллиона человек, но это высказывание не будет истинным, поскольку количество человек в городе меняется — люди приезжают и уезжают, рождаются и умирают. Поэтому правильнее будет сказать, что в городе проживает приблизительно полмиллиона человек.
Ещё пример. В девять утра начинаются занятия. Мы вышли из дома в 8:30. Через некоторое время по дороге мы встретили своего товарища, который спросил у нас сколько сейчас времени. Когда мы выходили из дома было 8:30, на дорогу мы потратили какое-то неизвестное время. Мы не знаем сколько сейчас времени, поэтому отвечаем товарищу: «сейчас приблизительно около девяти часов».
Если отсекается цифра 5, а за ней не имеется значащих цифр, то округление выполняется на ближайшее четное число, другими словами, последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она четная, и усиливается в случае, если она нечетная.
Число 0,0465 округлённо записывается как – 0,046. В данном случае усиления не делается, так как последняя оставляемая цифра 6 является чётной.
Число 0,935 округлённо записывается как – 0,94. Последняя оставляемая цифра 3 усиливается, так как она является нечётной.
Примеры округления чисел:
6,527 → 6,5
|
2,195 → 2,2
|
0,950 → 1,0
|
0,850 → 0,8
|
0,456 → 0,5
|
1,450 → 1,4
|
4,851 → 4,9
|
0,05 → 0,0
|
Зачем нужно округление
Округлять числа необходимо для точности измерений. В некоторых сферах жизни погрешности в расчетах могут иметь очень серьезные последствия. Для этого существует метрология — наука, изучающая правила округления чисел и погрешности.
Приведем несколько примеров, в которых неправильное округление не приведет ни к чему страшному:
Однако есть ситуации, где правильное округление является необходимостью. Наверняка читатель мог подумать, зачем нужна какая-то наука об округлении? Ведь все просто — округлять можно как в большую, так и в меньшую сторону, в зависимости от личной выгоды. Такой принцип применим не ко всем сферам жизни. Науку об округлении в первую очередь необходимо изучать инженерам-электроникам.
Первое правило округления
В предыдущих примерах мы видели, что округляя число до определенного разряда, младшие разряды заменяются нулями. Цифры, которые заменяются нулями, называют отбрасываемыми цифрами.
Первое правило округления выглядит следующим образом:
Если при округлении чисел первая из отбрасываемых цифр 0, 1, 2, 3 или 4, то сохраняемая цифра остаётся без изменений.
Например, округлим число 123 до разряда десятков.
В первую очередь находим сохраняемую цифру. Для этого надо прочитать самó задание. В разряде, о котором говорится в задании и находится сохраняемая цифра. В задании сказано: округлить число 123 до разряда десятков.
Правила округления чисел
1. Округление числа представляет собой отбрасывание значащих цифр справа до определенного разряда с возможным изменением цифры этого разряда.
2. В случае если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) менее 5, то последнюю сохраняемую цифру не меняют.
Пример: Округление числа 12,23 до трех значащих цифр дает 12,2.
3. В случае если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) равна 5, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу.
Пример: Округление числа 0,145 до двух цифр дает 0,15.
Примечание . В тех случаях, когда следует учитывать результаты предыдущих округлений, поступают следующим образом.
4. Если отбрасываемая цифра получена в результате округления в меньшую сторону, то последнюю оставшуюся цифру увеличивают на единицу (с переходом при необходимости в следующие разряды) , иначе – наоборот. Это касается и дробных и целых чисел.
Пример: Округление числа 0,25 (полученного в результате предыдущего округления числа 0,252) дает 0,3.
4. В случае если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) более 5, то последнюю сохраняемую цифру увеличивают на единицу.
Пример: Округление числа 0,156 до двух значащих цифр дает 0,16.
5. Округление выполняют сразу до желаемого количества значащих цифр, а не по этапам.
Пример: Округление числа 565,46 до трех значащих цифр дает 565.
6. Целые числа округляют по тем же правилам, что и дробные.
Пример: Округление числа 23456 до двух значащих цифр дает 2310 3
Числовое значение результата измерения должно оканчиваться цифрой того же разряда, что и значение погрешности.
Пример: Число 235,732 + 0,15 должно быть округлено до 235,73 + 0,15, но не до 235,7 + 0,15.
7. Если первая из отбрасываемых цифр (считая слева направо) меньше пяти, то остающиеся цифры не меняются.
Пример: 442,749+ 0,4 округляется до 442,7+ 0,4.
8. Если первая из отбрасываемых цифр больше или равна пяти, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
Пример: 37,268 + 0,5 округляется до 37,3 + 0,5; 37,253 + 0,5 должно быть округлено до 37,3 + 0,5.
9. Округление следует выполнять сразу до желаемого числа значащих цифр, поэтапное округление может привести к ошибкам.
Пример: Поэтапное округление результата измерения 220,46+ 4 дает на первом этапе 220,5+ 4 и на втором 221+ 4, в то время как правильный результат округления 220+ 4.
10. Если погрешность средств измерения указывается всего с одной или двумя значащими цифрами, а рассчетное значение погрешности получают с большим числом знаков, в окончательном значении рассчитанной погрешности должны быть оставлены соответственно только первые одна или две значащие цифры. При этом, если полученное число начинается с цифр 1 или 2, то отбрасывание второго знака приводит к очень большой ошибке (до 3050 %), что недопустимо. Если же полученное число начинается с цифры 3 и более, например, с цифры 9, то сохранение второго знака, т.е. указание погрешности, например, 0,94 вместо 0,9, является дезинформацией, так как исходные данные не обеспечивают такой точности.
Исходя из этого на практике установилось такое правило: если полученное число начинается со значащей цифры, равной или большей 3, то в нем сохраняется лишь она одна; если же оно начинается со значащих цифр, меньших 3, т.е. с цифр 1 и 2, то в нем сохраняют две значащих цифры. В соответствии с этим правилом установлены и нормируемые значения погрешностей средств измерений: в числах 1,5 и 2,5 % указываются две значащих цифры, но в числах 0,5; 4; 6 % указывается лишь одна значащая цифра.
Пример: На вольтметре класса точности 2,5 с пределом измерений х К = 300 В был получен отсчет измеряемого напряжения х = 267,5 В. В каком виде должен быть записан результат измерения в отчете?
Расчет погрешности удобнее вести в следующем порядке: вначале необходимо найти абсолютную погрешность, а затем – относительную. Абсолютная погрешность х = 0 х К /100, для приведенной погрешности вольтметра 0 = 2,5 % и пределов измерения (диапазона измерения) прибора х К = 300 В: х = 2,5300/100 = 7,5 В ~ 8 В; относительная погрешность = х 100/х = 7,5100/267,5 = 2,81 % ~ 2,8 % .
Так как первая значащая цифра значения абсолютной погрешности (7,5 В) больше трех, то это значение должно быть округлено по обычным правилам округления до 8 В, но в значении относительной погрешности (2,81 %) первая значащая цифра меньше 3, поэтому здесь должны быть сохранены в ответе два десятичных разряда и указано = 2,8 %. Полученное значение х = 267,5 В должно быть округлено до того же десятичного разряда, которым оканчивается округленное значение абсолютной погрешности, т.е. до целых единиц вольт.
Таким образом, в окончательном ответе должно быть сообщено: «Измерение произведено с относительной погрешностью = 2,8 % . Измеренное напряжениеХ = (268+ 8) В».
При этом более наглядно указать пределы интервала неопределенности измеренной величины в виде Х = (260276) В или 260 ВX276 В.
Нюансы при округлении на практике
1) Округления нужны для того, чтобы упростить вычисления.
Например, необходимо сложить два расстояния, которые необходимо пройти. Первое – 1 километр 384 метра 57 сантиметров и аналогичное второе. Сделать вычисления довольно трудно. Но если мы скажем, что в первом случае необходимо 1,5 километра, а во втором, например, 1 километр, то мы понимаем, что примерно необходимо пройти 2,5 километра.
Рассмотрим некоторые особенности использования приближенных величин.
Представьте, что вы складываете две величины. Перед сложением вы решили их округлить. Важно помнить, что при вычислении необходимо округлять до одного и того же разряда.
Пусть одно расстояние – 1 километр 382 метра 53 сантиметра. Второе расстояние – 1 километр 739 метров 15 сантиметров. Первое расстояние округлим до километров. Получим 1 километр. А второе – до метров. Получим 2 километра 739 метров. Сложим две полученные величины. Получим 3 километра 739 метров. Ответ получился с метрами. Значит, мы посчитали расстояние с точностью до метров. Но метры из первого расстояния мы не учли. Поэтому наш результат довольно ошибочный. Поэтому округлять следует до одного и того же.
Округлите до километра 1 километр 82 метра.
Казалось бы, смотрим на 8, 8 больше пяти, значит, 1 километр и 82 метра – это приблизительно 2 километра. Но здравый смысл подсказывает, что 1 километр 82 метра – это почти 1 километр.
Давайте переведем наше расстояние в километры. Получим 1,082 километра. И вот теперь мы видим, что оценивать необходимо не 8, а 0. 0 меньше пяти, значит, 1 километр 82 метра – это приблизительно 1 километр.
Когда речь идет о числах, все довольно просто. Но если речь идет о величинах, то стоит помнить, что, возможно, даны не все цифры.
2) Округление бывает полезно при проверке вычислений.
Допустим, умножили 11 на 11 и получили 1100. Понятно, что результат слишком большой, но как это обосновать? Давайте округлим 11 до десятков. 11 – это примерно 10. При умножении 10 на 10 получим 100. Таким образом, и результат умножения 11 на 11 должен быть около 100, но точно не 1000. В этом случае округление до десятых помогло нам проверить свои вычисления.
Примеры округления десятичной дроби
Давайте разберем несколько примеров округления дробной части десятичных дробей.
Пример 1. Округлите дробь 56,786 до сотых.
Цифра, которую нужно округлить, — 8. Обращайтесь к таблице с подсказками названия разрядов, чтобы верно определять нужную цифру.
Справа от цифры округляемого разряда цифра 6.
Смотрим на пункт 4. Прибавляем: 8 + 1 = 9.
Пример 2. Округлите дробь 0,647 до десятых.
Округляемая цифра — 6.
Смотрим пункт 3. Значит, цифра 6 остается неизменной.
Пример 3. Округлите дробь 23,98 до разряда единиц в целой части.
Цифра, которую нужно округлить, — 3.
Первая цифра после запятой — 9. Значит, нужно прибавить: 3 + 1.
Затем отбрасываем все остальные цифры, стоящие справа.
Пример 4. Округлите дробь 3,286 до десятых.
Цифра, которую нужно округлить, — 2.
Согласно правилу, прибавляем: 2 + 1.
Затем отбрасываем все остальные цифры, стоящие справа.
Пример 5. Округлите дробь 45,387 до сотых.
Затем отбрасываем все остальные цифры, стоящие справа.
Для нахождения приближенного значения применяется такое действие как округление чисел.
Слово «округление» говорит само за себя. Округлить число значит сделать его круглым. Круглым называется число, которое оканчивается нулём. Например, следующие числа являются круглыми:
10, 20, 30, 100, 300, 700, 1000
Любое число можно сделать круглым. Процедуру, при которой число делают круглым, называют округлением числá.
Мы уже занимались «округлением» чисел, когда делили большие числа. Напомним, что для этого мы оставляли без изменения цифру, образующую старший разряд, а остальные цифры заменяли нулями. Но это были лишь наброски, которые мы делали для облегчения деления. Своего рода лайфхак. По факту, это даже не являлось округлением чисел. Именно поэтому в начале данного абзаца мы взяли слово округление в кавычки.
На самом деле, суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного. При этом, число может быть округлено до определённого разряда — до разряда десятков, разряда сотен, разряда тысяч.
Рассмотрим простой пример на округление. Дано число 17. Требуется округлить его до разряда десятков.
Не забегая вперёд попробуем понять, что означает «округлить до разряда десятков». Когда говорят округлить число 17, то надо понимать, что от нас требуют найти ближайшее круглое число от числá 17. Причём в ходе этого поиска возможно изменения коснутся и той цифры, которая располагается в разряде десятков числá 17 (т.е цифры 1).
Перед тем как перейти к правилам округления значений, стоит разобраться, что представляет собой круглое число . Если речь идет о целых, то оно обязательно заканчивается нулем.
На вопрос, где в повседневной жизни пригодиться такое умение, можно смело ответить – при элементарных походах по магазинам.
С помощью правила приблизительного подсчета можно прикинуть, сколько будут стоить покупки и какую сумму необходимо взять с собой.
Именно с круглыми числами легче выполнять подсчеты, не используя при этом калькулятор.
К примеру, если в супермаркете или на рынке покупают овощи весом 2 кг 750 г, то в простом разговоре с собеседником зачастую не называют точный вес, а говорят, что приобрели 3 кг овощей. При определении расстояния между населенными пунктами также применяют слово «около». Это и значит приведение результата к удобному виду.
Округление используется для того, чтобы работать с числами в пределах того количества знаков, которое соответствует реальной точности параметров вычислений (если эти значения представляют собой измеренные тем или иным образом реальные величины), реально достижимой точности вычислений либо желаемой точности результата. В прошлом округление промежуточных значений и результата имело прикладное значение (так как при расчётах на бумаге или с помощью примитивных устройств типа абака учёт лишних десятичных знаков может серьёзно увеличить объём работы). Сейчас оно остаётся элементом научной и инженерной культуры. В бухгалтерских приложениях, кроме того, использование округлений, в том числе промежуточных, может требоваться для защиты от вычислительных ошибок, связанных с конечной разрядностью вычислительных устройств.
Приближенные значения
В обычной жизни мы часто встречаем два вида чисел: точные и приближенные. И если точные до сих пор были понятны, то с приближенными предстоит познакомиться в 5 классе.
У квадрата четыре стороны — число 4 невозможно оспорить, оно точное. У каждого окна есть своя ширина, и его параметры однозначно точные. А вот арбуз весит примерно 5 кг, и никакие весы не покажут абсолютно точный вес. И градусник показывает температуру с небольшой погрешностью. Поэтому вместо точных значений величин, иногда можно использовать приближенные значения.
Весы показывают, что арбуз весит 5,160 кг. Можно сказать, что арбуз весит примерно 5 кг. Это приближенное значение с недостатком.
Часы показывают время: два часа дня и пятьдесят пять минут. В разговоре про время можно сказать: «почти три» или «время около трех». Это значение времени с избытком.
Если длина платья 1м 30 см, то 1 м — это приближенное значение длины с недостатком, а 1,5 м — это приближенное значение длины с избытком.
Приближенное значение — число, которое получилось после округления.
Для записи результата округления используют знак «приблизительно равно» — ≈.
Округлить можно любое число — для всех чисел работают одни и те же правила.
Округлить число значит сократить его значение до сотых, десятков или тысячных, остальные значения откидываются. Это нужно в случаях, когда полная точность не нужна или невозможна.
Приближённые значения
Иногда в вычисления нет необходимости использовать точные числовые значения. Для ускорения или упрощения расчётов очень часто достаточно получения приближенного результата. Для этого производят округления чисел, которые участвуют в расчетах а также и конечный результат вычислений. Приближённые значения используют тогда, когда точное значение чего-либо найти невозможно, или же это значение не важно для исследуемого предмета.
Например можно сказать, что дорога до дома занимает полчаса. Это прибличительное значение, поскольку точно сказать сколько времени займет путь до дома или слишком сложно или в большинстве случаев не так важно. Главное обозначить порядок чисел и этого бывает вполне достаточно.
В математике приближенные значения указываются с помощью специального знака.
Чтобы указать приблизительное значение чего-либо, используют округление чисел.
Суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного. При этом, число может быть округлено до определённого разряда — до разряда десятков, разряда сотен, разряда тысяч.
Первое правило округления:
Если при округлении чисел первая из отделяемых цифр меньше 5 ( 0 , 1 , 2 , 3 , 4 ), то последняя из оставляемых цифр остаётся без изменений (усиления или увеличения не производится).
Число 47,271 округлённо записывается как – 47,3 . В данном случае цифра 2 будет усилена до 3 , так как первая отсекаемая цифра 7 , больше чем 5 .
Второе правило округления:
Если при округлении чисел первая из отделяемых цифр больше 5 ( 5 , 6 , 7 , 8 , 9 ), то последняя из оставляемых цифр увеличивается на единицу (производится усиление).
Число 64,28 округлённо записывается как – 64 . Число 64 наиболее близко к округляемому числу, чем 65 .
Третье правило округления:
Если отсекается цифра 5 , а за ней не имеется значащих цифр, то округление выполняется на ближайшее четное число, другими словами, последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она четная, и усиливается в случае, если она нечетная.
Число 0,0465 округлённо записывается как – 0,046 . В данном случае усиления не делается, так как последняя оставляемая цифра 6 является чётной. Число 0,935 округлённо записывается как – 0,94 . Последняя оставляемая цифра 3 усиливается, так как она является нечётной.
Суть округления заключается в том, чтобы найти ближайшее значение от исходного. При этом, число может быть округлено до определённого разряда — до разряда десятков, разряда сотен, разряда тысяч.
Первое правило округления:
Если при округлении чисел первая из отделяемых цифр меньше 5 (0, 1, 2, 3, 4), то последняя из оставляемых цифр остаётся без изменений (усиления или увеличения не производится).
Число 47,271 округлённо записывается как – 47,3. В данном случае цифра 2 будет усилена до 3, так как первая отсекаемая цифра 7, больше чем 5.
Второе правило округления:
Если при округлении чисел первая из отделяемых цифр больше 5 (5, 6, 7, 8, 9), то последняя из оставляемых цифр увеличивается на единицу (производится усиление).
Число 64,28 округлённо записывается как – 64. Число 64 наиболее близко к округляемому числу, чем 65.
Третье правило округления:
Если отсекается цифра 5, а за ней не имеется значащих цифр, то округление выполняется на ближайшее четное число, другими словами, последняя оставляемая цифра остаётся неизменной, если она четная, и усиливается в случае, если она нечетная.
Можно ли округлять пособия, выплачиваемые за счет ФСС
Пособия своим работникам работодатель выплачивает за счет ФСС, за исключением первых трех дней оплаты больничного, которые оплачиваются за счет организации. Округлять пособия, которые выплачиваются не работодателем нельзя. Это предусматривает закон №255-ФЗ от 29.12.2006 г и Положением , утв. Постановлением №375 от 15.06.2007. Округление выплаты в этом случае подразумевает завышение расходов, связанных с выплатой пособий. А соцстрах к зачету лишние суммы принять не может. В этом случае работодатель должен будет доплачивать страховые взносы.
Округление не в большую, а в меньшую сторону влияет на права работника. Нарушая его права, компания рискует получить штраф за административное правонарушение (30 000 – 50 000 рублей, 5.27 КоАП).